فرمول محاسبه در RTD

همانطور که در سنسور RTD شرح داده شد، خروجی سنسور های RTD به صورت سیگنال مقاومتی است. در این مقاله فرمول محاسبه ی RTD و نحوه ی اندازه گیری دما با این سنسور را بررسی می کنیم. یکی از روش های اندازه گیری مقاومت، استفاده از پل وتستون است. با قرار دادن RTD در یک بازوی پل وتستون می توان مقدار مقاومت حسگر RTD را اندازه گیری کرد. در ادامه باید مقاومت RTD تعیین شده به مقدار دمای متناظرش تبدیل شود. به منظور تبدیل مقاومت اندازه گیری شده به دما، از روش های استاندارد RTD مثل استاندارد IEC751 و معادله ی Callender-Van Dusen (CVD) استفاده می شود.

پل وتستون

پل وتستون یا Wheatstone bridge یک مدار الکتریکی شامل 4 مقاومت است. از این پل جهت اندازه گیری مقدار مقاومت الکتریکی مجهول استفاده می شود. به صورت کلی مدار پل وتستون شامل عناصر زیر است:
• دو پایانه ی ورودی
• دو پایانه ی خروجی
• چهار مقاومت: این مقاومت ها به شکل لوزی به یکدیگر متصل می شوند.
در تصویر زیر شماتیک کلی این پل نمایش داده شده است. به منظور اندازه گیری Vout یا ولتاژ خروجی در پل وتستون می توان از ولت متر دیجیتال استفاده کرد.

جهت درک نحوه ی اندازه گیری مقاومت در پل وتستون به تصویر زیر دقت کنید. در این تصویر Rx همان مقاومت ثابت و در عین حال ناشناخته است. مقاومت های R1،R2 و R3 مقاومت هایی با اندازه های معین هستند. در این پل مقدار مقاومت R2 قابل تنظیم است.

مقاومت متغییر R2 به منظور ایجاد تعادل در پل استفاده می شود. با عبارت دیگر مقدار مقاومت R2 باید به نحوی تنظیم شود که پل در حالت تعادل قرار بگیرد. تعادل پل وتستون به معنی صفر شدن اختلاف پتانسیل نقاط D و B است. با صفر شدن اختلاف پتانسیل این نقاط به معنی برابر شدن دو مقاومت R2 و R1 با دو مقاومت Rx و R3 است. به عبارت دیگر معادله ی زیر در حالت تعادل پل وتستون برقرار خواهد شد:

\[if\;\;\;{V_{out}} = 0\;\;\;\;\;\;then\;\;\;\frac{{{R_x}}}{{{R_3}}} = \;\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\; \to \;{R_x} = \;\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} \times \;{R_3}\;\;\;\;\;\;\]

در صورت نامتعادل بودن پل با استفاده از جهت جریان می توان به زیاد بودن یا کم تر بودن مقدار R2 پی برد. در حالت دیگر، ممکن است مقادیر R1، R2 و R3 مشخص بوده اما R2 قابل تنظیم نباشد. در این حالت طبق تصویر زیر می توان با استفاده از قانون Kirchhoff و اندازه گیری اختلاف ولتاژ VG، مقدار مقاومت Rx را محاسبه کرد. جهت درک بهتر این نکته به تصویر زیر توجه کنید.

رابطه ی ولتاژ VG و ولتاژ منبع تغذیه یا Vs در تصویر بالا برابر است با:

\[{V_G} = \left( {\frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} – \frac{{{R_x}}}{{{R_x} + {R_{3}}}}} \right){V_S}\]

در نتیجه فرمول محاسبه ی RTD یا همان مقاومت Rx به صورت زیر است:

\[{R_X} = \frac{{{R_2} \times {V_S} – \left( {{R_1} + {R_2}} \right) \times {V_G}}}{{{R_1} \times {V_S} + \left( {{R_1} + {R_2}} \right) \times {V_G}}}{R_3}\]

 

همانطور که در مقاله ی قبل اشاره شد RTD های دو سیمه ساده ترین نوع سنسور های RTD هستند. قابل ذکر است که از این مدل RTD ها نمی توان در مدارهای بسیار دقیق استفاده کرد. در تصویر زیر نحوه ی اتصال RTD دو سیمه به پل وتستون نمایش داده شده است. RL1 و RL2 همان مقاومت سیم های رابط یا Lead wire هستند. با در نظر گرفتن این تصویر و تصویر قبلی می توان دریافت که مقدار مقاومت R3 در پل وتستون برابر با RL1+RTD+RL2 است. اضافه شدن مقاومت های RL1 و RL2 به مقاومت RTD موجب اختلال در اندازه گیری دما خواهد شد. این پدیده، مهم ترین ایراد RTD های دو سیمه است.

در نظر داشته باشید که فرآیند از بین بردن خطای سیم های رابط یا Lead wire در صورت یکسان بودن مقاومت این سیم ها موثر تر و دقیق تر خواهد بود. در روش سه سیمه، از سیم سوم جریان عبور نکرده و تنها به منظور اندازه گیری ولتاژ از آن استفاده می شود. از طرف دیگر مطابق تصویر زیر مقاومت دو سیم دیگر RTD در دو قسمت پل قرار می گیرد. به عبارت دیگر RL1 به صورت سری با مقاومت حسگر RTD قرار گرفته است. هم چنین RL3 با مقاومت R3 در پل وتستون سری شده است. این نحوه ی سیم بندی موجب حذف تاثیر مقاومت سیم های رابط خواهد شد.

تصویر زیر نحوه ی استفاده از RTD چهار سیمه را نشان می دهد. پیکربندی چهار سیمه شامل دو سیم جریان و دو سیم تغذیه است. به عبارت ساده تر از دو سیم سنسور جریان عبور کرده و ولت متر به دو سیم دیگر آن متصل می شود. از آن جایی که مقاومت ولت متر بی نهایت می باشد، از سیم های متصل به ولت متر جریانی عبور نخواهد کرد. در واقع مقاومت بی نهایت در ولت متر موجب عدم عبور جریان از دو سیم آن می شود. همانطور که می دانید اگر از یک سیم جریان عبور نکند، آنگاه افت ولتاژ آن صفر خواهد بود. در ادامه با استفاده از قانون اهم یا V=RI در حلقه ی بیرونی تصویر زیر و اندازه گیری ولتاژ ولت متر، می توان مقدار مقاومت RTD را محاسبه کرد. در ادامه و با استفاده از مقدار مقاومت و فرمول CVD دمای مورد نظر اندازه گیری خواهد شد.

تبدیل مقاومت به دما در RTD

همانطور که در مقاله ی سنسور RTD اشاره شد، مهم ترین اصل در این سنسور ها افزایش مقاومت فلز با افزایش دما است. یکی از ضرایب مهم RTD ها ضریب مقاومت حرارتی، ضریب مقاومت دمایی یا Temperature coefficient of resistance نام دارد. این ضریب با حرف TCR یا Alpha نمایش داده می شود. alpha همان شیب مقاومت بین دمای 0 تا 100 درجه سانتی گراد می باشد. به بیان دیگر ضریب مقاومت حرارتی فلزات بیانگر میزان تغییرات مقاومت بر اثر تغییر یک واحد دما است. خواص المان RTD توسط ضریب مقاومت دمایی آن شناسایی می شود. هنگام تعویض یک حسگر با حسگر دیگر باید به مقدار آلفا در آن ها توجه کنیم. به عبارت دیگر α یا آلفا تعیین کننده ی قابلیت تعویض پذیری یک حسگر با حسگرهای دیگر است. در صورت برابر بودن TCR در دو حسگر، رابطه ی دما-مقاومت در آن ها یکسان خواهد بود. ضریب حرارتی TCR معمولا با واحد Ω/(Ω·°C) نشان داده می شود. به منظور محاسبه ی این پارامتر از فرمول زیر استفاده می کنیم:

\[{\alpha _0} = \frac{{{R_{100}} – {R_0}}}{{{R_0} \times 100}}\]

ضرایب موجود در معادله ی بالا عبارت اند از :
• R0: مقاومت RTD بر حسب اهم در دمای 0 درجه سلسیوس
• R100: مقاومت RTD بر حسب اهم در دمای 100 درجه سلسیوس
ضریب آلفا برای پلاتین خالص در دمای بین 0 تا 100 درجه سانتی گراد برابر α = 0.003925 Ω/(Ω · ° C) است. دو استاندارد شناخته شده برای RTD های صنعتی یعنی IEC 60751 و ASTM E-1137، مقدار آلفای RTD های پلاتینی را برابر با α = 0.00385 Ω/(Ω·°C) در نظر گرفته اند. رابطه ی مقاومت و دما ی PT100 در بازه ی 0 تا 100 درجه به شکل زیر است.

با توجه به تصویر بالا؛ رابطه ی بین مقاومت و دمای PT100 در دمای 0 تا 100 درجه سلسیوس برابر است با:

 

\[{R_t} = {R_0}\left( {1 + {\alpha _0}t} \right)\]

 

ضرایب موجود در فرمول بالا عبارت اند از:

•  Rt همان مقاومت RTD در دمای t درجه است. واحد اندازه گیری این مقاومت اهم می باشد.
• R0 مقاومت RTD در دمای 0 درجه سلسیوس و برحسب اهم است.
• α0 ضریب حرارتی فلز تشکیل دهنده ی RTD یا Temperature coefficient of resistance است.
• T همان دمای مورد نظر بر حسب درجه سلسیوس است.

به منظور درک بهتر فرمول بالا به ذکر یک مثال می پردازیم. فرض کنید یک PT100 در دمای 0 درجه مقاومت 100 اهم و در دمای 100 درجه مقاومت 139.1 را داشته باشد. مقاومت این سنسور در دمای 50 درجه چقدر است؟
به منظور حل این مثال ابتدا باید ضریب حرارتی آلفا یا TCR را محاسبه کنیم.

 

\[{\alpha _0} = \frac{{{R_{100}} – {R_0}}}{{{R_0} \times 100}} = \frac{{139.1 – 100}}{{100 \times 100}} = 0.00391\;/^\circ C\]

 

در ادامه مقاومت سنسور در دمای 50 درجه برابر است با:

 

\[{R_{50}} = {R_0}\left( {1 + {\alpha _0}t} \right) = 100\left( {1 + 0.00391 \times 50} \right) = 119.55\Omega \]

 

اگر مقاومت سنسور در این مثال برابر با 110 اهم اندازه گیری شود، دمای محیط چقدر است؟
به منظور حل این قسمت سوال نیز ابتدا باید ضریب حرارتی را بدست آوریم. همانطور که در قسمت قبل مشاهده کردید این ضریب برابر با 0.00391 اندازه گیری شده است. در ادامه میزان دما در مقاومت 110 اهم برابر است با:

 

\[{R_t} = {R_0}\left( {1 + {\alpha _0}t} \right)\;\;\; \to 110 = 100\left( {1 + 0.00391 \times t} \right)\;\]

\[{R_t} = 1 + 0.00391t = 1.1\;\; \to 0.00391t = 0.1\; \to \;t = 25.58\;^\circ C\;\]

 

معادله ی Callender-Van Dusen یا CVD

معادله ی Callender-Van Dusen (CVD) معادله ای است که رابطه ی بین مقاومت R و دمای T را در دماسنج های مقاومتی پلاتینی یا RTD های پلاتینی مشخص می کند. معمولا در کاربرد های تجاری در ترمومتر ها یا ترنسمیتر های RTD از این معادله استفاده می شود. فرم اصلی معادله ی CVD عبارت است از:

 

\[{\rm{Rt}} = {\rm{R}}0 + {\rm{R}}0{\rm{\alpha }}\left[ {{\rm{t}} – {\rm{\delta }}\left( {0.01{\rm{t}} – 1} \right)\left( {0.01{\rm{t}}} \right) – {\rm{\beta }}\left( {0.01{\rm{t}} – 1} \right)\left( {0.01{\rm{t}}} \right)3} \right]\]

 

ضرایب استفاده شده در فرمول بالا عبارت اند از:

• Rt: مقاومت حسگر در دمای t درجه سلسیوس
• R0: مقاومت حسگر در دمای 0 درجه سلسیوس
• α: ضریب حرارتی سنسور
• δ:ثابت مخصوص سنسور
• β: ثابت مخصوص سنسور، در دمای بالای صفر درجه برابر با صفر و در دمای زیر 0 درجه برابر اب 0.11

معادله ی بالا، در استاندارد EN/IEC 60751 به فرم زیر استفاده می شود. به عبارت دیگر رابطه ی بین مقاومت پلاتینی و دما توسط معادله ی  Callender-Van Dusen (CVD) به دو صورت زیر توصیف می شود. R0 همان مقاومت RTD در دمای 0 درجه است. از آن جا که مقاومت PT100 در دمای 0 درجه برابر با 100 اهم است، مقدار R0 در PT100 برابر با 100 Ω خواهد بود.

 

\[Rt = Rt\left( {1 + At + B{t^2}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;for\;t \ge 0^\circ C\]

\[Rt = R0(1 + At + B{t^2} + C\left( {t – 100} \right){t^3}\;\;\;\;\;for\;t \le 0^\circ C\]

 

رنج دمایی برای مقاومت های پلاتینی در معادلات بالا برابر است با:

1. 200- تا 0 درجه سلسیوس
2. 0 تا 850 درجه سلسیوس

همانطور که اشاره شد پارامتر R0 همان مقاومت پلاتین در دمای 0 درجه سلسیوس است. مقادیر ضرایب معادله ی CVD یا همان مقادیر A، B و C در استاندارد EN/IEC 60751 تعریف شده اند. طبق این استاندارد، ثابت های A، B و C برای PT100 RTD برابر اند با:

\[A = 3.9083\; \times \;{10^{ – 3}}\;{K^{ – 1}}\]

\[B = – 5.775\; \times \;{10^{ – 7}}\;{K^{ – 2}}\]

\[C = – 4.183\; \times \;{10^{ – 12}}\;{K^{ – 4}}\]

در تصویر زیر تغییرات مقاومت PT100 از دمای منفی 200 تا 850 درجه نمایش داده شده است.

تغییرات مقاومت RTD در محدوده های دمایی کوچک نسبتا خطی است. با دقت به نمودار بالا متوجه خطی نبودن رابطه ی مقاومت و دمای PT100 در کل بازه ی منفی 200 تا 850 درجه سلسیوس می شویم. جهت درک بهتر این نکته به تصویر زیر توجه کنید. در این تصویر ویژگی غیر خطی بودن سنسور PT100 در تمام رنج منفی 200 تا 850 درجه سلسیوس نمایش داده شده است.

این وب سایت دارای مجوز از وزارت فرهنگ و ارشاد اسلامی بوده و هر گونه کپی و نسخه برداری و انتشار مجدد اطلاعات آن غیرمجاز است. لطفا در صورت مشاهده هرگونه سوء استفاده ما را مطلع کنید.