توان اکتیو و راکتیو

در این مقاله نسبت بین توان ها و روابط بین توان اکتیو و راکتیو را مورد بررسی قرار میدهیم و با کمیت های مهم مانند کسینوس فی یا ضریب توان آشنا میشویم.

نسبت بین توان اکتیو و راکتیو

در بسیاری از پروژه‌ها و به منظور مشخص کردن سایز تجهیزات، طراحی بانک خازن و غیره باید کمیت‌های اساسی در تاسیسات را محاسبه کنیم. این کمیت‌ها شامل جریان، انواع توان، ضریب توان، هارمونیک و غیره بوده و دارای فرمول‌های مشخصی هستند. در این بخش سعی شده نحوه‌ی محاسبه‌ی کمیت‌های مهم در خصوص انواع توان در جریان متناوب به ساده‌ترین شکل شرح داده شود.

در بررسی بارهای مختلف مشخص شد که جریان می‌تواند مولفه‌های اکتیو یا \(I_{a}\) و راکتیو یا \(I_{r}\) داشته باشد. میزان مولفه‌ی راکتیو جریان به نوع بار بستگی داشته و می‌تواند زاویه‌ی مثبت یا منفی 90 درجه داشته باشد. از آنجایی که اغلب بارهای موجود در صنعت به صورت سلفی هستند، بار سلفی با زاویه‌ی 90+ و بار خازنی با زاویه‌ی 90- در نظر گرفته می‌شود. مولفه‌ی راکتیو جریان به صورت مثبت ترسیم می‌شود. طبق تصویر زیر برآیند دو مولفه‌ی اکتیو و راکتیو با یکدیگر جریان ظاهری سیستم یا \(I\) را تشکیل می‌دهند. در واقع این همان جریانی است که آمپر مترها اندازه‌گیری می‌کنند.

با توجه به ترکیب بارهای متنوع در صنعت؛ زاویه‌ی بین منحنی ولتاژ و جریان تغییر کرده و دیگر 90 درجه‌ی کامل نخواهد بود. این فاصله‌ی زمانی بین ولتاژ و جریان به صورت \(\varphi\) نمایش داده می‌شود. البته این زاویه می‌تواند بین مولفه‌ی اکتیو جریان یا \(I_{a}\) و برآیند کلی جریان‌ها یا \(I\) نیز در نظر گرفته شود.

با توجه به اینکه ولتاژ تحت تاثیر نوع بار قرار نگرفته و تقریبا مقدار ثابتی دارد، می‌توان مولفه‌های جریان را در آن ضرب کرده و توان‌ها را محاسبه کرد. با ضرب مولفه‌ی اکتیو جریان در ولتاژ؛ توان اکتیو با واحد وات ایجاد می‌شود. توان راکتیو حاصل ضرب مولفه‌ی راکتیو جریان در ولتاژ بوده و واحد آن وار است. در صورتی که میزان آمپر را با آمپرمتر اندازه‌گیری کرده و در ولتاژ شبکه ضرب کنیم؛ توان ظاهری با واحد ولت آمپر به دست خواهد آمد.

طبق تصویر زیر نحوه‌ی قرارگیری مولفه‌های توان؛ یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل می‌دهد. همانطور که می‌دانیم در این مثلث فرضیه فیثاغورس صادق بوده و می‌توان مقادیر مختلف توان را محاسبه کرد.

در چنین شرایطی می‌توان از روابط ریاضی استفاده کرده و با داشتن حداقل دو مولفه از مقادیر توان اکتیو، توان راکتیو یا توان ظاهری؛ آیتم‌های دیگر را محاسبه کرد.

وتر مثلث توان با حرف S مشخص شده و معرف توان ظاهری سیستم براساس ولت آمپر است. بزرگتر بودن این ضلع از مثلث نشان می‌دهد که با افزایش توان‌های اکتیو و راکتیو؛ به تاسیسات بزرگتری برای انتقال توان نیاز داریم. در واقع با ترکیب توان‌ها مقدار S افزایش یافته و باید در انتخاب سایز تجهیزات تجدید نظر کنیم. توان ظاهری در شبکه‌ی تکفاز و سه فاز با فرمول‌های زیر محاسبه می‌شود:

\[S=U\times I\]

\[S=\sqrt{3}\times U\times I\]

در بارهای ترکیب شده توان ظاهری یا S به سادگی و با اندازه‌گیری مستقیم ولتاژ و جریان قابل محاسبه است. این توان؛ ظرفیت اشغال شده‌ی کلی سیستم را مشخص می‌کند ولی بیانگر میزان دقیق مولفه‌های اکتیو و راکتیو نیست.

برای به دست آوردن مولفه‌های دیگر حداقل به یکی از کمیت‌های اکتیو یا راکتیو نیاز داریم. طبق فرضیه‌ی فیثاغورس رابطه توان ظاهری با توان‌ اکتیو و راکتیو به این شکل تعریف می‌شود:

\[S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}\]

برای به دست آوردن توان اکتیو می‌توان از وات متر یا پاور مترها استفاده کرد. با استفاده از پاورمیترهای پیشرفته میزان دقیق توان اکتیو، راکتیو و ظاهری قابل اندازه‌گیری است. با این کار می‌توان مقادیر را در فرمول بالا جایگزین کرده و میزان توان راکتیو را به دست آورد:

\[Q=\sqrt{S^{2}-P^{2}}\]

این روش در صورت داشتن توان راکتیو نیز صادق است. به عبارت دیگر اگر مقدار توان‌های ظاهری و راکتیو مشخص باشد می‌توان میزان توان اکتیو را نیز محاسبه کرد:

\[P=\sqrt{S^{2}-Q^{2}}\]

ضریب توان یا کسینوس فی

حتما تاکنون عبارت \(cos\varphi\) را روی پلاک الکتروموتورها مشاهده کرده‌اید. علاوه بر این دستگاهی با عنوان \(cos\varphi\) متر نیز روی تابلوهای اصلی نصب می‌شود.

این عبارت با عنوان ضریب شناخته شده و یک پارامتر بسیار مهم در محاسبه‌ی توان‌های اکتیو، راکتیو و جریان‌ها است.

برای درک بهتر این موضوع باید کمی بیشتر به نسبت‌های مثلثاتی مانند sin و cos بپردازیم. این روابط در اصل نشان دهنده‌ی نسبت اضلاع یک مثلث بر اساس اختلاف زاویه است. همانطور که قبلا شرح داده شده مولفه‌های اکتیو و راکتیو جریان یا توان دو ضلع مثلث را تشکیل می‌دهند. وتر این مثلث به صورت جمع برداری بوده و نشان دهنده ی جریان کامل یا توان ظاهری کل سیستم است.

در تصویر زیر محور توان اکتیو یا P با \(cos\varphi\) و محور توان راکتیو یا Q با \(sin\varphi\) مشخص شده است. محورهای توان اکتیو و راکتیو با یکدیگر 90 درجه اختلاف داشته و برآیند آن ها توان ظاهری یا S را تشکیل می‌دهد.

در مثلث توان زاویه  همان اختلاف زمانی بین ولتاژ و جریان یا اختلاف بین مولفه‌های اکتیو و راکتیو جریان است.

طبق تعریف؛ کسینوس فی از طریق تقسیم ضلع مجاور \(\varphi\) به وتر یا \(\frac{P}{S}\) به دست آمده و نشان می‌دهد که چه درصدی از توان ظاهری یا S صرف کار مفید یا اکتیو یا P می‌شود.

به صورت کلی در بارهای ترکیبی همیشه ضریب توان یا Power Factor کمتر از 1 و به صورت مثبت بوده و نشان می‌دهد که تمام توان ظاهری دریافت شده صرف کار مفید نمی‌شود.

در طرف مقابل سینوس فی وجود دارد. سینوس فی از طریق تقسیم ضلع مقابل \(\varphi\) به وتر یا \(\frac{Q}{S}\) به دست آمده و معرف این است که چه مقداری از توان ظاهری یا S صرف کار غیر مفید یا راکتیو یا Q شده‌است. در اصل با کمک این نسبت می‌توان مقدار خازن مورد نیاز در یک سیستم را محاسبه کرد.

همانطور که مشاهده کردید با داشتن دو مولفه از توان‌ها یا یک توان و زاویه‌ی \(\varphi\) می‌توان مقدار مولفه‌های مفید، غیر مفید و ظاهری را به صورت کامل محاسبه کرد.

برای درک بهتر روش محاسبه‌ی مولفه‌های توان به تصویر زیر توجه کنید.در این مثلث مقابل زاویه‌ی بین ولتاژ و جریان یا همان \(\varphi\) معادل 45 درجه پس فاز است. روی ضلع‌های این مثلث مشخص شده که توان ظاهری دریافتی توسط این سیستم معادل 70 کیلو وات آمپر است که 50 کیلو وات آن صرف کار مفید می‌شود.

شاید با مقادیر درج شده روی مثلث تصور کنیم که اشتباهی پیش آمده است. چطور ممکن است از 70 کیلو ولت آمپر دریافتی 50 کیلو وات کار مفید و 50 کیلو وار کار غیر مفید داشته باشیم؟

در نظر داشته باشید که طول وتر مثلث با جمع اضلاع آن به دست نمی‌آید. طبق قضیه‌ی فیثاغورس طول وتر در مثلث توان به این صورت محاسبه می‌شود:

\[S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}\]
\[=\sqrt{50^{2}+50^{2}}=70\: KVA\]

برای به دست آوردن ضریب توان این سیستم می‌توان \(cos\varphi\) یا \(cos \: 45^{\circ}\) را به دست آورد. این کار را می‌توانیم با ماشین حساب یا از طریق تقسیم \(\frac{P}{S}\) انجام دهیم. طبق معادلات زیر مشخص می‌شود که \(cos\varphi\) یا ضریب توان یا PF این سیستم معادل 0.7 است.

\[cos \: 45^{\circ}=\frac{50\: kW}{70\: kVA}=0.7\]
\[sin \: 45^{\circ}=\frac{50\: kvar}{70\: kVA}=0.7\]

ضریب توان 0.7 در این سیستم نشان می‌دهد که با ازای هر کیلو وات مصرفی یک کیلو وار به شبکه باز گردانده می‌شود. این مقدار از نظر شرکت‌های تامین کننده‌ی برق پذیرفته نیست و جریمه‌هایی برای آن در نظر گرفته می‌شود.

مطالبی که در حال مطالعه ی آن هستید به صورت تصویری در دوره طراحی بانک خازن آموزش داده شده است. در این دوره تصویری با توان در جریان متناوب، مفهوم جبران سازی توان راکتیو، مزایای فنی و اقتصادی جبران سازی، مشخصات بانک خازن، محاسبه ضریب توان، محاسبه خازن از طریق قبض برق، انتخاب خازن برای الکتروموتور و ترانسفورماتور، انتخاب تجهیزات سوئیچ و حفاظت در بانک خازن و دستور العمل راه اندازی بانک خازن آشنا شده و چند بانک خازن را به صورت عملی بررسی و تست می کنیم. جهت کسب اطلاعات بیشتر در خصوص این دوره می توانید روی عبارت طراحی بانک خازن کلیک کنید.

ضریب توان یا کسینوس فی مناسب

از نظر شرکت‌های توزیع نیروی برق هر مشترک می‌تواند به ازای هر کیلو وات مصرفی فقط نیمی از آن را به شبکه برگرداند. برای درک بهتر این موضوع به تصویر مقابل توجه کنید.

در تصویر زیر توان اکتیو سیستم معادل 100 کیلو وات و راکتیو آن معادل 50 کیلو وار است. با این مقادیر می‌توان دریافت که به ازای هر کیلو وات توان اکتیو، 50 درصد یا  توان راکتیو در سیستم وجود دارد.

برای بررسی صحت این مثلث؛ ابتدا توان ظاهری را کنترل می‌کنیم. طبق فرضیه‌ی فیثاغورس طول وتر به صورت زیر محاسبه می‌شود. در نظر داشته باشید برای ساده سازی محاسبات قسمت‌های اعشاری حذف شده و اعداد رند شده‌اند:

\[S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}\]
\[=\sqrt{100^{2}+50^{2}}=111\: KVA\]

برای به دست آوردن ضریب توان یا P.F سیستم کافی است مقدار توان اکتیو را بر توان ظاهری تقسیم کنیم.

\[cos\varphi =\frac{100\: kw}{111\; kva}=0.9\]

در صورتی که مولفه‌های جریان مشخص باشد می‌توان از این فرمول نیز استفاده کرد:

\[cos\varphi =\frac{I_{a}}{I}\]

برای مشخص کردن زاویه‌ی مجاز بین مولفه‌های جریان یا مولفه‌های توان کافی است با ماشین حساب مقدار معکوس  را به دست آورید. طبق فرمول زیر اختلاف حدودی 25 تا 30 درجه بین مولفه‌های اکتیو و راکتیو در یک شبکه‌ی قدرت پذیرفته است:

\[cos^{-1}\: 0.9\cong 26^{\circ}\]

فرمول‌های توان اکتیو و راکتیو

تا این قسمت رابطه‌ی بین توان‌ اکتیو و راکتیو و ظاهری در شبکه‌های متناوب بررسی شد. در ادامه نحوه‌ی محاسبه‌ی هر یک از این توان‌ها براساس ولتاژ، جریان و اختلاف فاز در شبکه‌ی تکفاز و سه فاز آورده شده است.

در سیستم‌های تکفاز توان ظاهری، اکتیو و راکتیو به این صورت محاسبه می‌شوند. قابل ذکر است که در این فرمول‌ها \(\varphi\) همان اختلاف فاز بین ولتاژ و جریان است. مثبت بودن \(\varphi\) به معنی حالت پس فاز و منفی بودن آن به معنی پیش فاز بودن سیستم است. توجه کنید که مثبت و منفی بودن \(\varphi\) تاثیری روی توان اکتیو نداشته و فقط مشخص کننده‌ی تولید یا مصرف توان راکتیو است. فرمول‌های محاسبه‌ی توان در مدار تکفاز عبارتنداز:

\[S_{kVA}=U\times I\]

\[P_{kW}=U\times I\times cos\varphi\]

\[Q_{var}=U\times I\times sin\varphi\]

\[S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}\]

برای به دست آوردن کمیت‌های توان در شبکه‌های سه فاز باید یک \(\sqrt{3}\) در فرمول‌های فوق قرار داد. به این ترتیب فرمول‌های توان در شبکه‌ی سه فاز عبارتند از:

\[S_{kVA}=\sqrt{3}\times U\times I\]

\[P_{kW}=\sqrt{3}\times U\times I\times cos\varphi\]

\[Q_{var}=\sqrt{3}\times U\times I\times sin\varphi\]

\[S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}\]

طبق فرمول‌های بالا در صورتی که ولتاژ، جریان و اختلاف بین آن‌ها مشخص باشد می‌توان کمیت‌های توان را محاسبه کرد. این امر کاملا دو طرفه بوده و می‌توان با داشتن مولفه‌های توان؛ میزان جریان و آیتم‌های دیگر را به دست آورد.

مثال یک

پارامترهای موجود در شبکه سه فاز فشار ضعیف 400 ولت با توان اکتیو 100 کیلو وات و توان راکتیو 70 کیلو وار را در نظر بگیرید. با داشتن این دو توان مقدار توان ظاهری و ضریب توان به سادگی قابل محاسبه است:

\[P=100\: kW\]
\[Q=70\: kvar\]
\[S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}=122\: kVA\]
\[\cos\varphi =\frac{P}{S}=0.819\]

برای محاسبه‌ی مولفه‌های جریان ابتدا باید مقدار کلی آن را محاسبه کنیم:

\[S_{kVA}=\sqrt{3}\times U\times I\]

\[I=\frac{122\times 10^{3}}{\sqrt{3}\times 400}=176\: A\]

در نظر داشته باشید که جریان کامل این سیستم حدود 176 آمپر بوده و برای محاسبه‌ی مولفه‌های آن باید از نسبت‌های \(cos\) و \(sin\) استفاده کنیم. زاویه‌ی بین ولتاژ و جریان در این شرایط برابر با \(cos^{-1}\: 0.819\) یعنی حدود 35 درجه است. برای به دست آوردن مولفه‌های اکتیو و راکتیو جریان می‌توان به این صورت عمل کرد:

\[cos\varphi =cos\: 35^{\circ}=0.819\]

\[sin\varphi =sin\: 35^{\circ}=0.573\]
\[I_{a}=I\times cos\varphi\]
\[=176\times 0.819=144\: A\]
\[I_{r}=I\times sin\varphi\]
\[=176\times 0.573=100\: A\]
\[I=\sqrt{I_{a}^{2}+I_{r}^{2}}\]
\[=\sqrt{144^{2}\times 100^{2}}=176\: A\]

با ترسیم خطوط متناسب و طبق مولفه‌های توان و جریان، مثلث‌های زیر ایجاد خواهند شد. در این ترسیم از مقیاس میلی‌متر و متناسب با مقادیر جریان و توان در نرم‌افزار اتوکد استفاده شده و اندازه‌ی زاویه به صورت خودکار به دست آمده است. همانطور که مشاهده می‌کنید بین توان اکتیو و توان ظاهری یک زاویه‌ی 35 درجه‌ای وجود دارد. این زاویه دقیقا در مثلث جریان و بین مولفه‌ی اکتیو و جریان کامل مشخص است.

مثال دو

یک سیستم فشار ضعیف 400 ولت با توان اکتیو 1 مگاوات و ضریب توان 0.75 را در نظر بگیرید. آیا می‌توان مولفه‌های توان و جریان‌های این سیستم را محاسبه کرد؟

با ساده سازی فرمول‌های توان می‌توان دریافت که:

\[S_{kVA}=\sqrt{3}\times U\times I\]
\[P_{kW}=\sqrt{3}\times U\times I\times cos\varphi\]
\[P=S\times cos\varphi\]
\[P.F=cos\varphi =0.75\]
\[P=1\: MW=1000\; kW\]
\[S=\frac{P}{cos\varphi }\]
\[=\frac{1000\times 10^{3}kW}{0.75}=1333\times 10^{3}\: kVA\]
\[Q=\sqrt{S^{2}-P^{2}}\]
\[=\sqrt{1333^{2}-1000^{2}}=881\: kvar\]

محتوای این مقالات برگرفته از کتاب جبران سازی توان راکتیو تالیف مثلث زرد می باشد. این کتاب دارای مجوز از وزارت فرهنگ و ارشاد اسلامی بوده و هر گونه کپی و نسخه برداری و انتشار مجدد غیرمجاز بوده و پیگرد قانونی دارد.